Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Estudie el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m\in \mathbb{R}$, siendo

$M=\left(\begin{array}{cccc}2& m& 0& 1\\ 2& 1& 0& m\\ 4& 1& m& 2\end{array}\right)$

b) [1 punto] Sean los planos ${\pi }_1\equiv 2x+my=1$, ${\pi }_2\equiv 2x+y=m$ y ${\pi }_3\equiv 4x+y+mz=2$. Estudie su posición relativa según los valores de $m$. Puede utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

La matriz es de orden $3\times 4$, luego su rango es como mucho $3$. Hay que ver para qué valores de $m$ se anulan a la vez los cuatro menores de orden $3$.

$\mid \begin{array}{ccc}2& m& 0\\ 2& 1& 0\\ 4& 1& m\end{array}\mid =m\mid \begin{array}{cc}2& m\\ 2& 1\end{array}\mid =m(2-2m)=-2m(m-1)$

$\mid \begin{array}{ccc}2& m& 1\\ 2& 1& m\\ 4& 1& 2\end{array}\mid =4+4m^2+2-4-2m-4m=4m^2-6m+2=2(m-1)(2m-1)$

El primero se anula en $m=0$ y $m=1$; el segundo, en $m=1$ y $m=\frac{1}{2}$. El único valor común es $m=1$, de modo que para cualquier otro $m$ alguno de los dos menores es distinto de cero.

Si $m\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{ran}(M)=3$.

Si $m=1$, la matriz queda

$M=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 1\\ 2& 1& 0& 1\\ 4& 1& 1& 2\end{array}\right)$

con las dos primeras filas iguales, luego el rango no puede pasar de $2$; y como $\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 1\end{array}\mid =2-4=-2\mathrm{\ne }0$, se tiene $\mathrm{ran}(M)=2$.

El rango de $M$ es $3$ para $m\mathrm{\ne }1$ y $2$ para $m=1$.



La matriz ampliada del sistema que forman los tres planos es exactamente la matriz $M$ del apartado anterior, y la de coeficientes es la que resulta de quitarle la última columna.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ 2& 1& 0\\ 4& 1& m\end{array}\right),A^{\ast }=M$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2m(m-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3$: el sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto.

Si $m=0$, se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ y $\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$, luego $\mathrm{ran}(A)=2$; en cambio, el segundo menor del apartado anterior vale $2(0-1)(0-1)=2\mathrm{\ne }0$, así que $\mathrm{ran}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible. Los vectores normales $(2,0,0)$, $(2,1,0)$ y $(4,1,0)$ no son proporcionales dos a dos, de modo que no hay planos paralelos: se cortan dos a dos en tres rectas paralelas.



Si $m=1$, por el apartado anterior $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$: el sistema es compatible indeterminado con un parámetro. Además ${\pi }_1:2x+y=1$ y ${\pi }_2:2x+y=1$ son el mismo plano, que corta a ${\pi }_3:4x+y+z=2$ en una recta.

En resumen: para $m\mathrm{\ne }0,1$ los tres planos se cortan en un punto; para $m=0$ forman una superficie prismática, sin ningún punto común; y para $m=1$ dos de ellos son coincidentes y cortan al tercero en una recta.