Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& -1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)yC=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -2\end{array}\right)$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX+I_3=BC$, donde $I_3$ es la matriz identidad.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos por él. Lo desarrollamos por la primera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& -1& 0\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =-1\cdot (0+1)=-1\mathrm{\ne }0$

La matriz es regular. Aplicamos la fórmula de la inversa a partir de la adjunta de la traspuesta.

$A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 1& -2& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A^{\mathrm{\top }})=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& -2\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^{\mathrm{\top }})=-1\cdot \left(\begin{array}{ccc}-2& -1& -2\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos multiplicando la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $0\cdot 2+1\cdot 0+1\cdot 1=1$.



Despejamos $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$AX+I=BC\Rightarrow AX=BC-I\Rightarrow X=A^{-1}(BC-I)$

Calculamos primero el producto $BC$, que es una matriz $3\times 3$ por ser $B$ de orden $3\times 2$ y $C$ de orden $2\times 3$.

$BC=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& -3\\ -2& 0& 2\\ -1& 1& 3\end{array}\right)$

$BC-I=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -3\\ -2& -1& 2\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$

Y por último el producto con la inversa:

$X=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -3\\ -2& -1& 2\\ -1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ 1& -1& -2\\ 3& 2& -1\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ 1& -1& -2\\ 3& 2& -1\end{array}\right)$.