Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2020 (convocatoria extraordinaria)

Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& -1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)yC=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -2\end{array}\right)$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX+I_3=BC$, donde $I_3$ es la matriz identidad.

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+az=a\\ x+ay+2z=a\\ -x+y+z=1\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 0^{+}}({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}(2x)}})$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{(x-1)}& \text{si }x\le 1\\ x-2& \text{si }1<x<2\\ \ln (x-1)& \text{si }x\ge 2\end{array}$

donde ln es el logaritmo neperiano, estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x=1$ y en $x=2$, y clasifique el tipo de discontinuidad si las hubiera.

a) [1,5 puntos] Calcule las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108{\text{dm}}^3$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=x^2+x-1$ en el punto de abscisa $x=1$.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-dx}{1+e^x}}}$. (Cambio de variable sugerido: $e^x=t$.)

b) [1,25 puntos] Determine justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones $f(x)=-x^2+2x+4$ y $g(x)=x+2$.

Sean el plano $\pi \equiv x+2y-z-4=0$ y la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-2y-2=0\\ y-z-2=0\end{array}$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente la distancia del punto $P(1,2,-1)$ al plano $\pi$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1,-1,2)$ y $C(0,1,1)$.

Dadas las rectas $r\equiv \{\begin{array}{l}2x-2y=4\\ z=0\end{array}$, $s\equiv {\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{y+2}{-2}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ y el punto $P(-1,0,2)$.

a) [1,25 puntos] Determine razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.

b) [1,25 puntos] Halle razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto $P$ y es paralelo a las rectas $r$ y $s$.

a) El 70 % de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el 25 % entre 34 y 54 años (ambos incluídos) y el 5 % más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el 98 % de los menores de 34 años, el 40 % de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluídos) y el 10 % de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?

a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluídos)?

b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?