Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean el plano $\pi \equiv x+2y-z-4=0$ y la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-2y-2=0\\ y-z-2=0\end{array}$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente la distancia del punto $P(1,2,-1)$ al plano $\pi$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1,-1,2)$ y $C(0,1,1)$.

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con el plano ya escrito en forma general.

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+2\cdot 2-(-1)-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+4+1-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{0,8165}$

La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{0,8165}$ unidades de longitud.



Primero hay que localizar el tercer vértice, que es el corte de la recta con el plano. Obtenemos un punto y un vector director de $r$, que viene dada como intersección de dos planos.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =(2,1,1)$

Para el punto damos un valor a una incógnita; con $y=0$ resulta $x=2$ y $z=-2$.

$r:\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=-2+\lambda \end{array}$

Sustituimos en la ecuación del plano.

$(2+2\lambda )+2\lambda -(-2+\lambda )-4=0\Rightarrow 3\lambda =0\Rightarrow \lambda =0$

$M(2,0,-2)$











El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{MB}=(1,-1,2)-(2,0,-2)=(-1,-1,4)$

$\overrightarrow{MC}=(0,1,1)-(2,0,-2)=(-2,1,3)$





$\overrightarrow{MB}\times \overrightarrow{MC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 4\\ -2& 1& 3\end{array}\mid =(-7,-5,-3)$

$\mid \overrightarrow{MB}\times \overrightarrow{MC}\mid =\sqrt{49+25+9}=\sqrt{83}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{\sqrt{83}}{2}}\approx \mathrm{4,5552}$

El área del triángulo es ${\displaystyle \frac{\sqrt{83}}{2}}\approx \mathrm{4,5552}$ unidades cuadradas.