Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2024 (convocatoria ordinaria)

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=1\\ 2x+ay+z=a\\ 5x+2y+z=1\end{array}$

a) [1,5 puntos] Discuta el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelva, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a=1$.

Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1{\text{dm}}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.



a) [1 punto] Determine la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).

b) [1 punto] Calcule, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.

c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determine la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el ${\text{dm}}^2$.

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas $A(2,-1,3)$ y $B(-2,4,5)$.

a) [1 punto] Determine la ecuación de la recta que representa la viga.

b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A$, $B$ y $C(0,0,1)$, determine el área de la placa triangular.

a) [1 punto] Calcule el siguiente límite: ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x-1}{x^2+3}}$.

b) [1,5 puntos] Estudie el rango de la matriz $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 2& 0& 2& 1\\ a& 1& 0& 1\end{array}\right)$ en función de los valores de $a\in \mathbb{R}$.

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle \int x\sqrt{2x+3}dx}$. Puede utilizar el cambio de variable $t=\sqrt{2x+3}$.

b) [1,5 puntos] Sean los vectores $\vec{u}=(1,a,a)$ y $\vec{v}=(-1,0,2)$, con $a\in \mathbb{R}$. Determine el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de ${60}^{\circ }$.

a) [1 punto] Calcule los coeficientes $a,b,c\in \mathbb{R}$ de la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x=2$ y un punto de inflexión en $P(1,2)$. Justifique su respuesta.

b) Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A)=\mathrm{0,2}$; $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$ y $P(A\cup B)=\mathrm{0,3}$. Calcule:

b.1) [0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A\cap \bar{B})$, con $\bar{B}$ el suceso complementario de $B$.

b.2) [0,75 puntos] $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$.

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indique cuáles. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1,0,0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u}=(1,2,1)$ y $\vec{v}=(1,0,0)$.

a) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60 % juega al tenis, el 25 % practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21 % de los socios que juegan al tenis, el 30 % de los que practican natación y el 12 % de los que practican el golf.

a.1) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcule la probabilidad de que practique natación.

b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?