Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule los coeficientes $a,b,c\in \mathbb{R}$ de la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x=2$ y un punto de inflexión en $P(1,2)$. Justifique su respuesta.

b) Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A)=\mathrm{0,2}$; $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$ y $P(A\cup B)=\mathrm{0,3}$. Calcule:

b.1) [0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A\cap \bar{B})$, con $\bar{B}$ el suceso complementario de $B$.

b.2) [0,75 puntos] $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$.

Traducimos las tres condiciones del enunciado a tres ecuaciones. Necesitamos las dos primeras derivadas.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x+2a$

i) En un extremo relativo la derivada primera se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 12+4a+b=0$

ii) En un punto de inflexión se anula la derivada segunda:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 6+2a=0\Rightarrow a=-3$

iii) El punto de inflexión está en la gráfica, luego $f(1)=2$:

$1+a+b+c=2$

Sustituyendo $a=-3$ en la primera ecuación, $12-12+b=0\Rightarrow b=0$, y llevando ambos valores a la tercera, $1-3+0+c=2\Rightarrow c=4$.

Comprobamos que las condiciones son realmente las pedidas: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6\mathrm{\ne }0$, de modo que en $x=1$ hay verdadero punto de inflexión, y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=12-6=6\mathrm{\ne }0$, de modo que en $x=2$ hay verdadero extremo relativo (un mínimo, por ser $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)>0$).

Los coeficientes son $a=-3$, $b=0$ y $c=4$, es decir, $f(x)=x^3-3x^2+4$.



Despejamos $P(B)$ de la probabilidad de la unión, que relaciona los tres datos del enunciado.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,3}=\mathrm{0,2}+P(B)-\mathrm{0,1}\Rightarrow P(B)=\mathrm{0,2}$

Para la segunda probabilidad usamos que $A$ se reparte entre la parte que comparte con $B$ y la que no.

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,1}$



Se obtiene $P(B)=\mathrm{0,2}$ y $P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,1}$.



Aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,2}}}=\mathrm{0,5}$

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,2}}}=\mathrm{0,5}$

Las dos condicionadas valen $\mathrm{0,5}$, como era de esperar: los dos sucesos tienen la misma probabilidad, $\mathrm{0,2}$, y comparten la mitad de ella.