Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

a) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60 % juega al tenis, el 25 % practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21 % de los socios que juegan al tenis, el 30 % de los que practican natación y el 12 % de los que practican el golf.

a.1) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcule la probabilidad de que practique natación.

b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?

Nombramos los sucesos del apartado a):

$T\equiv$ el socio juega al tenis; $N\equiv$ el socio practica natación; $G\equiv$ el socio practica golf; $R\equiv$ el socio ha obtenido algún premio.

Como cada socio se apunta a un único deporte, los tres primeros sucesos forman un sistema completo, con $P(T)=\mathrm{0,60}$, $P(N)=\mathrm{0,25}$ y $P(G)=1-\mathrm{0,60}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,15}$. El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{socios,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{premio.}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en premio.

$P(R)=P(T)\cdot P(R\mid T)+P(N)\cdot P(R\mid N)+P(G)\cdot P(R\mid G)$

$P(R)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,21}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,30}+\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,12}$

$P(R)=\mathrm{0,126}+\mathrm{0,075}+\mathrm{0,018}=\mathrm{0,219}$

La probabilidad de que un socio elegido al azar haya obtenido algún premio es $\mathrm{0,219}$, es decir, un $\mathrm{21,9}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{premio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{campeonatos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{nataci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, así que aplicamos el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(N\mid R)={\displaystyle \frac{P(N)\cdot P(R\mid N)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,30}}{\mathrm{0,219}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,219}}}$

$P(N\mid R)={\displaystyle \frac{25}{73}}\approx \mathrm{0,3425}$

Sabiendo que el socio ha obtenido algún premio, la probabilidad de que practique natación es $\mathrm{0,3425}$, es decir, un $\mathrm{34,25}\mathrm{\%}$: la natación gana peso respecto del $25\mathrm{\%}$ de partida porque es el deporte que más premios reparte.

Llamamos $X$ al tiempo, en minutos, que una persona sana invierte en recorrer los $5\text{ km}$. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(60,8)$

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{sana}}\mathbf{\text{invierta}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{minutos?}}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-60}{8}}\sim N(0,1)$

$P(X<50)=P(Z<{\displaystyle \frac{50-60}{8}})=P(Z<-\mathrm{1,25})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que usamos la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas.

$P(Z<-\mathrm{1,25})=1-P(Z<\mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\mathrm{0,1056}$



La probabilidad de que una persona sana tarde menos de $50$ minutos es $\mathrm{0,1056}$, es decir, un $\mathrm{10,56}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{sana}}\mathbf{\text{invierta}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{66}}\mathbf{\text{minutos?}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las áreas acumuladas.

$P(50<X<66)=P({\displaystyle \frac{50-60}{8}}<Z<{\displaystyle \frac{66-60}{8}})=P(-\mathrm{1,25}<Z<\mathrm{0,75})$

$P(-\mathrm{1,25}<Z<\mathrm{0,75})=P(Z<\mathrm{0,75})-P(Z<-\mathrm{1,25})$

$=\mathrm{0,7734}-\mathrm{0,1056}=\mathrm{0,6678}$



La probabilidad de que una persona sana tarde entre $50$ y $66$ minutos es $\mathrm{0,6678}$, es decir, un $\mathrm{66,78}\mathrm{\%}$.