Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

${\displaystyle \int (x+3)e^{-2x}dx}$

b) En un juego de azar cada jugador tira un dado de seis caras. Si sale un 1 vuelve a tirar. Si sale otro resultado deja de tirar y la puntuación obtenida es el número de unos obtenidos durante las tiradas.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?

b.2) [0,75 puntos] ¿Podría dar la probabilidad de obtener una puntuación de $n\in \mathbb{N}$?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{integral:}}$



El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que integramos por partes derivando el polinomio.

$\{\begin{array}{ll}u=x+3& du=dx\\ dv=e^{-2x}dx& v=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}\end{array}$

$\int (x+3)e^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3)e^{-2x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\int e^{-2x}dx$

$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3)e^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-2x}+C$

Sacamos factor común la exponencial:

$\int (x+3)e^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{e^{-2x}}{4}}(2x+7)+C$

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{uno?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uno?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres?}}$

El jugador sigue tirando mientras salga $1$ y se para en cuanto sale otro resultado, de modo que la puntuación $n$ corresponde a $n$ unos seguidos y, después, un resultado distinto de uno. Las tiradas son independientes y en cada una

$P(\text{sacar un }1)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(\text{no sacar un }1)={\displaystyle \frac{5}{6}}$

No obtener ningún uno es fallar ya en la primera tirada:

$P(0)={\displaystyle \frac{5}{6}}\approx \mathrm{0,8333}$

Obtener una puntuación de uno es sacar un $1$ y después otro resultado:

$P(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{36}}\approx \mathrm{0,1389}$

Obtener una puntuación de tres es sacar tres unos seguidos y después otro resultado:

$P(3)={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^3\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{1296}}\approx \mathrm{0,0039}$

Las tres probabilidades son ${\displaystyle \frac{5}{6}}\approx \mathrm{0,8333}$, ${\displaystyle \frac{5}{36}}\approx \mathrm{0,1389}$ y ${\displaystyle \frac{5}{1296}}\approx \mathrm{0,0039}$.



Sí. El razonamiento del apartado anterior no depende del valor concreto de la puntuación: obtenerla igual a $n$ exige $n$ unos seguidos y, a continuación, un resultado distinto de uno.

$P(n)=\underset{n\text{ veces}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\cdots {\displaystyle \frac{1}{6}}}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^n\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}$

$P(n)={\displaystyle \frac{5}{6^{n+1}}},n\in \mathbb{N}$

Se trata de una distribución geométrica. Como comprobación, la suma de todas las probabilidades es la de una serie geométrica de razón $\frac{1}{6}$:

${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{5}{6^{n+1}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{6}}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{5}}=1$