Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas $A(2,-1,3)$ y $B(-2,4,5)$.

a) [1 punto] Determine la ecuación de la recta que representa la viga.

b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A$, $B$ y $C(0,0,1)$, determine el área de la placa triangular.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{viga.}}$











La viga es el segmento que une $A$ y $B$, de modo que la recta que la contiene pasa por $A$ y tiene como vector director el que va de $A$ a $B$.

$\overrightarrow{AB}=(-2,4,5)-(2,-1,3)=(-4,5,2)$

$r:\{\begin{array}{l}x=2-4\lambda \\ y=-1+5\lambda \\ z=3+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Despejando el parámetro en las tres ecuaciones obtenemos también su forma continua:

$r:{\displaystyle \frac{x-2}{-4}}={\displaystyle \frac{y+1}{5}}={\displaystyle \frac{z-3}{2}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{viga?}}$

La longitud de la viga es la distancia entre sus extremos, es decir, el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$.

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-4{)}^2+5^2+2^2}=\sqrt{16+25+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

La viga mide $3\sqrt{5}\approx \mathrm{6,7082}$ unidades de longitud.



El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan dos de sus lados, y esa área es el módulo del producto vectorial de los vectores correspondientes.

$\overrightarrow{AC}=(0,0,1)-(2,-1,3)=(-2,1,-2)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -4& 5& 2\\ -2& 1& -2\end{array}\mid =(-12,-12,6)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-12{)}^2+(-12{)}^2+6^2}=\sqrt{144+144+36}=\sqrt{324}=18$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{18}{2}}=9$

La placa triangular tiene un área de $9$ unidades cuadradas.