Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

a) [1,25 puntos] Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indique cuáles. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1,0,0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u}=(1,2,1)$ y $\vec{v}=(1,0,0)$.

Lo primero es comprobar que la inversa existe, es decir, que el determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =a\cdot 0-1\cdot 1=-1\mathrm{\ne }0\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$

La matriz es regular para cualquier $a$, así que calculamos su inversa.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -a\end{array}\right)$

Imponemos ahora que $A=A^{-1}$ igualando las matrices entrada a entrada.

$\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -a\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ 1=1\\ 1=1\\ 0=-a\end{array}$

Las cuatro condiciones se reducen a $a=0$ y son compatibles entre sí.

Sí existe, y es único: para $a=0$ se tiene $A=A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Se puede comprobar directamente, ya que $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$.



Un vector perpendicular a la vez a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ es su producto vectorial, y ese será el vector director de la recta pedida.

$\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =(0,1,-2)$

Con el punto $A(1,0,0)$ y ese vector director escribimos las ecuaciones paramétricas.

$r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\lambda \\ z=-2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Eliminando el parámetro entre las dos últimas ecuaciones obtenemos la forma implícita.

$r:\{\begin{array}{l}x=1\\ 2y+z=0\end{array}$

La recta buscada es $r:x=1,2y+z=0$, que pasa por $A(1,0,0)$ y tiene como vector director $(0,1,-2)$.