Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{(1-3x{)}^{1\mathrm{/}2}-(1-3x{)}^{2\mathrm{/}3}}}}$

Puede utilizar el cambio de variable $1-3x=t^6$.

b) [1,5 puntos] Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$. Sin calcular $A^{-1}$, razone por qué $A^{-1}$ existe y discuta si la matriz $A^{-1}\cdot B$ tiene inversa.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{integral:}}$



Aplicamos el cambio de variable sugerido. El exponente $6$ es el mínimo común múltiplo de los denominadores $2$ y $3$, y es lo que hace desaparecer las raíces.

$1-3x=t^6\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1-t^6}{3}},dx=-2t^{5}dt$

$(1-3x{)}^{1\mathrm{/}2}=t^3,(1-3x{)}^{2\mathrm{/}3}=t^4$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{(1-3x{)}^{1\mathrm{/}2}-(1-3x{)}^{2\mathrm{/}3}}}=\int {\displaystyle \frac{-2t^5}{t^3-t^4}}dt=\int {\displaystyle \frac{-2t^5}{t^3(1-t)}}dt=\int {\displaystyle \frac{2t^2}{t-1}}dt$

Queda una función racional con el numerador de mayor grado, así que efectuamos la división.

${\displaystyle \frac{2t^2}{t-1}}=2t+2+{\displaystyle \frac{2}{t-1}}$

$\int (2t+2+{\displaystyle \frac{2}{t-1}})dt=t^2+2t+2\ln \mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }+C$

Deshacemos el cambio con $t=(1-3x{)}^{1\mathrm{/}6}$:

$\int {\displaystyle \frac{dx}{(1-3x{)}^{1\mathrm{/}2}-(1-3x{)}^{2\mathrm{/}3}}}=(1-3x{)}^{1\mathrm{/}3}+2(1-3x{)}^{1\mathrm{/}6}+2\ln \mid (1-3x{)}^{1\mathrm{/}6}-1\mid +C$



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, de modo que basta calcular determinantes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\mid =0+(0-2)=-2$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2\mathrm{\ne }0$, la matriz $A$ es regular y existe $A^{-1}$, sin necesidad de calcularla.

Para la segunda matriz observamos que su segunda fila es la fila nula, y un determinante con una fila de ceros vale cero.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=0$

Aplicamos ahora que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, y que $\mathrm{\mid }{A}^{-1}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}$.

$\mathrm{\mid }{A}^{-1}\cdot B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{A}^{-1}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{-2}}\cdot 0=0$

La matriz $A^{-1}$ existe porque $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2\mathrm{\ne }0$, pero $A^{-1}\cdot B$ no tiene inversa, ya que su determinante es nulo. Multiplicar por una matriz regular no puede recuperar el rango que $B$ ha perdido.