Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Encuentre todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$

es decir, que verifican que $AX=XA$.

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{X}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{conmutan}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}$





Para que los dos productos tengan sentido y sean del mismo tamaño, $X$ ha de ser cuadrada de orden $2$. Escribimos sus cuatro elementos como incógnitas y efectuamos los dos productos.

$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

$AX=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2p& 2q\\ p-r& q-s\end{array}\right)$

$XA=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2p+q& -q\\ 2r+s& -s\end{array}\right)$

Igualamos las dos matrices entrada a entrada.

$\{\begin{array}{l}2p=2p+q\\ 2q=-q\\ p-r=2r+s\\ q-s=-s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}q=0\\ 3q=0\\ p=3r+s\\ q=0\end{array}$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos condiciones: $q=0$ y $p=3r+s$, quedando $r$ y $s$ libres.

Las matrices que conmutan con $A$ son todas las de la forma

$X=\left(\begin{array}{cc}3r+s& 0\\ r& s\end{array}\right),r,s\in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{conmute}}\mathbf{\text{con}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{valga}}\mathbf{\text{4?}}$

Añadimos las dos condiciones nuevas a la familia obtenida. Una matriz cuadrada de orden $2$ es simétrica cuando sus dos elementos fuera de la diagonal coinciden.

$X=X^t\Rightarrow q=r$

Como en el apartado anterior obtuvimos $q=0$, se sigue $r=0$ y, con ello, $p=3\cdot 0+s=s$.

$X=\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)$

Imponemos ahora la condición sobre el determinante.

$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\mid =s^2=4\Rightarrow s=\pm 2$

Sí existen, y son dos:

$X_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I,X_2=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=-2I$

Era previsible: las matrices escalares conmutan con cualquier matriz del mismo orden y son simétricas.