Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

a) [1,25 puntos] Determine razonadamente los valores de $a$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a+1& 2& 1\\ 0& 2& 1& a\\ a& 0& 1& 0\\ a& 0& 2& 0\end{array}\right)$

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente todos los posibles valores $x,y,z$ para que el producto de las matrices $C=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& z\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ conmute.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}$



Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que basta calcularlo e igualarlo a cero.

Desarrollamos por la cuarta columna, que solo tiene dos elementos no nulos y, de hecho, uno solo distinto de cero salvo en la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cccc}1& a+1& 2& 1\\ 0& 2& 1& a\\ a& 0& 1& 0\\ a& 0& 2& 0\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\cdot \mid \begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ a& 0& 1\\ a& 0& 2\end{array}\mid +a\cdot \mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 2\\ a& 0& 1\\ a& 0& 2\end{array}\mid$

Calculamos los dos menores. En ambos hay una columna con dos ceros, lo que los hace inmediatos.

$\mid \begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ a& 0& 1\\ a& 0& 2\end{array}\mid =-2\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ a& 2\end{array}\mid =-2(2a-a)=-2a$

$\mid \begin{array}{ccc}1& a+1& 2\\ a& 0& 1\\ a& 0& 2\end{array}\mid =-(a+1)\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ a& 2\end{array}\mid =-(a+1)a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\cdot (-2a)+a\cdot [-a(a+1)]=2a-a^3-a^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a(a^2+a-2)=-a(a-1)(a+2)$

$-a(a-1)(a+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=-2\end{array}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $a=0$, $a=1$ y $a=-2$; para cualquier otro valor del parámetro es regular.



Que los dos productos conmuten significa que $CD=DC$, así que los calculamos y los igualamos entrada a entrada.

$CD=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3x+1& x-1\\ 3y+z& y-z\end{array}\right)$

$DC=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3x+y& 3+z\\ x-y& 1-z\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}3x+1=3x+y\\ x-1=3+z\\ 3y+z=x-y\\ y-z=1-z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=1\\ x=z+4\\ 4y+z=x\\ y=1\end{array}$

La primera y la cuarta ecuaciones dicen lo mismo, $y=1$. Sustituyendo en la tercera, $4+z=x$, que es exactamente la segunda. Quedan, pues, dos condiciones independientes y $z$ libre.

Las matrices que conmutan con $D$ dentro de esa familia son todas las de la forma

$C=\left(\begin{array}{cc}z+4& 1\\ 1& z\end{array}\right),z\in \mathbb{R}$

es decir, $x=z+4$, $y=1$ y $z$ cualquier número real.