Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dadas las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& 0\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),C=A^T\cdot B+I_2$

donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de orden 2.

a) Calcule $C^{2n}$, con $n\in \mathbb{N}$. [0,8 puntos]

b) Resuelva la ecuación $C\cdot X=5(A^T\cdot B)$. [1,2 puntos]

Antes de nada se calcula la matriz $C$, que interviene en los dos apartados. La traspuesta de $A$ es la matriz $2\times 3$ que resulta de escribir sus filas como columnas, con lo que el producto $A^T\cdot B$ es de orden $2\times 2$ y puede sumarse con $I_2$.

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

$A^T\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$

$C=A^T\cdot B+I_2=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

Para elevar una matriz a una potencia cualquiera se calculan las primeras potencias hasta reconocer el patrón que siguen.

$C^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4& -2+2\\ -2+2& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=5I_2$

El cuadrado de $C$ es un múltiplo de la identidad, y de ahí sale de golpe cualquier potencia par, porque $C^{2n}={\left(C^2\right)}^n$ y la identidad conmuta con todo:

$C^{2n}={\left(C^2\right)}^n={\left(5I_2\right)}^n=5^n{I}_2=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 0\\ 0& 5^n\end{array}\right)$

Las potencias pares de $C$ son $C^{2n}=5^n{I}_2$.



De la igualdad $C^2=5I_2$ obtenida en el apartado anterior se deduce que $C$ es invertible y cuál es su inversa, sin necesidad de calcularla por adjuntos: al ser $C\cdot \frac{1}{5}C=\frac{1}{5}{C}^2=I_2$, se tiene

$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}C={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

La incógnita $X$ está multiplicada por la izquierda, así que se multiplica por $C^{-1}$ también por la izquierda:

$C\cdot X=5(A^T\cdot B)\Rightarrow C^{-1}\cdot C\cdot X=C^{-1}\cdot 5(A^T\cdot B)\Rightarrow X=5C^{-1}(A^T\cdot B)$

$X=5\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}C(A^T\cdot B)=C(A^T\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -2& 4\end{array}\right)$

Comprobamos que la matriz obtenida verifica la ecuación:

$C\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-10& 10\\ 10& 0\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 0\end{array}\right)=5(A^T\cdot B)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -2& 4\end{array}\right)$.