Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sean las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 2& 1\end{array}\right)$

a) Calcule la matriz $A^n$ para $n\in \mathbb{N}$. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación $(A+2I)X=B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

Para hallar una potencia $n$-ésima se calculan las primeras potencias hasta reconocer la ley que siguen, y después se justifica por inducción.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}-1& \frac{1}{2}-2\\ -\frac{1}{2}+2& -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}& -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}& 3\end{array}\right)$

La matriz obtenida es proporcional a la de partida:

$A^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}A$

De ahí salen todas las potencias, multiplicando sucesivamente por $A$:

$A^3=A^2\cdot A=-{\displaystyle \frac{3}{2}}A\cdot A=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{A}^2={(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{2}A$

Suponiendo cierta la fórmula para $n$, se cumple para $n+1$:

$A^{n+1}=A^n\cdot A={(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{n-1}A\cdot A={(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{n-1}{A}^2={(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{n}A$

Queda así probado por inducción que

$A^n={(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^{n-1}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$



Se calcula la matriz que multiplica a la incógnita, se comprueba que es invertible y se despeja multiplicando por su inversa por la izquierda.

$A+2I=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ -1& -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{2}& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A+2I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}\frac{5}{2}& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =0-(-1)=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(A+2I{)}^{-1}$

$(A+2I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& \frac{5}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& \frac{5}{2}\end{array}\right)$

$(A+2I)X=B\Rightarrow X=(A+2I{)}^{-1}B$

$X=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& \frac{5}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 2& \frac{15}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$(A+2I)X=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{2}& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 2& \frac{15}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5+2& -\frac{5}{2}+\frac{15}{2}\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=B$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 2& \frac{15}{2}\end{array}\right)$.