Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2022

a) Sabiendo que $\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x& y& z\\ a& b& c\end{array}\mid =-2$, calcule justificadamente

$\mid \begin{array}{ccc}-a+2& -c+2& -b+2\\ {\displaystyle \frac{x}{2}}& {\displaystyle \frac{z}{2}}& {\displaystyle \frac{y}{2}}\\ 3& 3& 3\end{array}\mid$

[1 punto]

b) Compruebe que la matriz $B$ es invertible y calcule su inversa, siendo

$B=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 5& 3& -1\end{array}\right)$

[1 punto]

No se pueden calcular $x$, $y$, $z$, $a$, $b$ y $c$, ni hace falta: se trata de escribir el determinante pedido a partir del conocido usando las propiedades de los determinantes. Llamamos

$F_1=(1,1,1);F_2=(x,y,z);F_3=(a,b,c);\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\mid =-2$

Empezamos sacando factores comunes de las filas segunda y tercera del determinante pedido, y descomponiendo la primera:

$\mid \begin{array}{ccc}-a+2& -c+2& -b+2\\ \frac{x}{2}& \frac{z}{2}& \frac{y}{2}\\ 3& 3& 3\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\mid \begin{array}{ccc}-a+2& -c+2& -b+2\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

La primera fila es suma de dos, y el determinante es lineal en cada fila por separado:

$={\displaystyle \frac{3}{2}}(\mid \begin{array}{ccc}-a& -c& -b\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid )$

El segundo sumando tiene la primera y la tercera fila proporcionales, luego es nulo. En el primero se saca el factor $-1$ de la fila:

$={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot (-1)\mid \begin{array}{ccc}a& c& b\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mid \begin{array}{ccc}a& c& b\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

Este determinante se obtiene del dato con dos intercambios, y cada uno cambia el signo. Primero se intercambian las columnas segunda y tercera, que devuelve el orden $(a,b,c)$ y $(x,y,z)$:

$\mid \begin{array}{ccc}a& c& b\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

Después se intercambian las filas primera y tercera, que deja el determinante conocido:

$\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x& y& z\\ a& b& c\end{array}\mid =-(-2)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}a& c& b\\ x& z& y\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =-2\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}-a+2& -c+2& -b+2\\ \frac{x}{2}& \frac{z}{2}& \frac{y}{2}\\ 3& 3& 3\end{array}\mid =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot (-2)=3$

El determinante pedido vale 3.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que se calcula primero.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 5& 3& -1\end{array}\mid =-3+0-10-0+9-0=-4$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow B\text{ es invertible}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta.

$\mathrm{Adj}(B)=\left(\begin{array}{ccc}2& -5& -5\\ 2& -3& 1\\ -2& 3& 3\end{array}\right)$

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(B)]}^T=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ -5& -3& 3\\ -5& 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{5}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{3}{4}\\ \frac{5}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$B\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 5& 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{5}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{3}{4}\\ \frac{5}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La matriz $B$ es invertible y su inversa es la matriz obtenida.