Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Aragón

Examen de Matemáticas II de Aragón 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Aragón, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Dada la siguiente función:

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{- x} + e^{3}, & x \leq 0 \\ (1 - x)^{a / x}, & x > 0 \end{cases} a \in R

a) Determine los valores de

a \in R

para que la función

f (x)

sea continua en

R

. [1 punto]

b) Calcule, para

a = 1

, la recta tangente a la función en

x = - 4

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Calcule el siguiente límite:

\lim_{x \to + \infty} [\sqrt{3 x^{2} - 2} - (\sqrt{3} x + 5)]

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule:

\int e^{- x} (x^{2} - 1) d x

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Derivadas

Para la siguiente función:

f (x) = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}}

a) Obtenga el dominio de definición y estudie su crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

b) Analice la curvatura (concavidad

= \cap

y convexidad

= \cup

) y la existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtenga los puntos de inflexión caso de existir. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Dada la siguiente matriz:

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

a) Resuelva la ecuación matricial

A X - 2 I = A^{2}

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Analice el rango de la matriz

A - m B

según los valores de

m \in R

, siendo

A

la matriz anterior y

B = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array})

[1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

a) Sabiendo que

∣ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{array} ∣ = - 2

, calcule justificadamente

∣ \begin{array}{ccc} - a + 2 & - c + 2 & - b + 2 \\ \frac{x}{2} & \frac{z}{2} & \frac{y}{2} \\ 3 & 3 & 3 \end{array} ∣

[1 punto]

b) Compruebe que la matriz

B

es invertible y calcule su inversa, siendo

B = (\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 5 & 3 & - 1 \end{array})

[1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Dado el siguiente sistema:

{\begin{array}{rcrcrcl} - x & + & 3 y & + & z & = & 5 \\ 2 x & + & a z & = & - 4 \\ 4 x & - & 3 z & = & a + 1 \end{array}

a) Discuta según los valores de

a \in R

qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para

a = 1

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

a) Escriba la ecuación del plano que contiene a las rectas

r_{1}

r_{2}

, y además pasa por el punto

(- 1, 2, 1)

, siendo

r_{1} \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1} y r_{2} \equiv {\begin{cases} x = - 1 + 6 t \\ y = - 2 t \\ z = t \end{cases}

[1 punto]

b) Dado el vector

\vec{v} = (2, k, 2 k)

, calcule el valor

k \in R

para que

\vec{v}

y los vectores directores de las rectas

r_{1}

r_{2}

sean linealmente dependientes. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Geometría

a) Dados los siguientes vectores:

{\vec{v}}_{1} = a {\vec{u}}_{1} - 2 {\vec{u}}_{2} + 3 {\vec{u}}_{3}

{\vec{v}}_{2} = - {\vec{u}}_{1} + a {\vec{u}}_{2} + {\vec{u}}_{3}

, determine el valor del parámetro

a \in R

para que los vectores

{\vec{v}}_{1}

{\vec{v}}_{2}

sean ortogonales, sabiendo que los vectores

{{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}}

son ortogonales y de módulo igual a 1. [1 punto]

b) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vectores

{\vec{v}}_{1}

{\vec{v}}_{2}

{\vec{v}}_{3} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2}

, siendo

{\vec{v}}_{1} = (1, 0, - 2)

{\vec{v}}_{2} = (3, 1, 0)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 3300 gramos y desviación típica 465 gramos. Un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a 2500 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre 3500 y 4000 gramos? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Aragón 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Ejercicio 4: Derivadas

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Matrices

Ejercicio 7: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Ejercicio 9: Geometría

Ejercicio 10: Distribución normal

Otros exámenes de Matemáticas II de Aragón