Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{-x}+e^3,& x\le 0\\ (1-x{)}^{a\mathrm{/}x},& x>0\end{array}a\in \mathbb{R}$

a) Determine los valores de $a\in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule, para $a=1$, la recta tangente a la función en $x=-4$. [1 punto]

Cada rama está formada por funciones continuas allí donde tienen sentido: la primera es una raíz de radicando $-x\ge 0$, que es justo el tramo $x\le 0$, más una constante; la segunda es una potencia de base $1-x$ y exponente $\frac{a}{x}$, definida mientras la base sea positiva, es decir, para $0<x<1$. El único punto donde puede fallar la continuidad es el de empalme, así que allí se comparan los límites laterales con el valor de la función.

$f(0)=\sqrt{0}+e^3=e^3$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }(\sqrt{-x}+e^3)=0+e^3=e^3}$

Por la derecha aparece la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$, ya que la base tiende a 1 y el exponente a infinito. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1-x{)}^{a\mathrm{/}x}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{x}}[(1-x)-1]=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{a}{x}}\cdot (-x)=-a}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=e^{-a}}$

Para que la función sea continua los dos límites laterales han de coincidir con el valor de la función:

$e^{-a}=e^3\Rightarrow -a=3\Rightarrow a=-3$

La función es continua para $a=-3$; para cualquier otro valor del parámetro presenta en $x=0$ una discontinuidad de salto finito.



El punto de tangencia tiene abscisa negativa, de modo que la función viene dada por la primera rama y el valor de $a$ no interviene en el cálculo. La recta tangente pasa por el punto de la curva y su pendiente es la derivada en él.

$f(x)=\sqrt{-x}+e^3=(-x{)}^{1\mathrm{/}2}+e^3$

$f(-4)=\sqrt{4}+e^3=2+e^3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(-x{)}^{-1\mathrm{/}2}\cdot (-1)={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{-x}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-4)={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{4}}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-(2+e^3)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x+4)$

$y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}-1+2+e^3=-{\displaystyle \frac{x}{4}}+1+e^3$

La recta tangente a la curva en $x=-4$ es $y=-\frac{x}{4}+1+e^3$.