Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Para la siguiente función

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^3-x}}$

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x=2$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas.}}\mathbf{\text{Calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lelas}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es el cociente de una exponencial, que no se anula nunca, y de un polinomio. Sus posibles asíntotas verticales están en las raíces del denominador.

$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=0,x=1,x=-1$

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-1,0,1\}$

En los tres puntos el numerador vale $e^x>0$, de modo que los tres son asíntotas verticales. Estudiamos los límites laterales atendiendo al signo de cada factor del denominador:

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{e^{-1}}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -1^{+}}{\lim }={\displaystyle \frac{e^{-1}}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{\lim }={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{e}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 1^{+}}{\lim }={\displaystyle \frac{e}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

Para las asíntotas horizontales hay que separar los dos infinitos, porque la exponencial se comporta de manera muy distinta en cada uno.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{0}{-\mathrm{\infty }}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal cuando }x\to -\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}=+\mathrm{\infty }}$

La indeterminación se resuelve aplicando tres veces la regla de L'Hôpital: cada derivada rebaja el grado del denominador y deja intacta la exponencial, hasta llegar a $\lim e^x\mathrm{/}6=+\mathrm{\infty }$. No hay, por tanto, asíntota horizontal por la derecha.

Tampoco hay asíntota oblicua por la derecha, porque la pendiente no es finita:

$m={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^4-x^2}}=+\mathrm{\infty }}$

Por la izquierda tampoco puede haberla, ya que allí existe asíntota horizontal.

En resumen: tres asíntotas verticales, $x=-1$, $x=0$ y $x=1$; una asíntota horizontal, $y=0$, solo cuando $x\to -\mathrm{\infty }$; y ninguna asíntota oblicua. Por la derecha la gráfica presenta una rama que crece más deprisa que cualquier recta.



El punto $x=2$ pertenece al dominio. Calculamos el punto de la curva y la derivada en él.

$f(2)={\displaystyle \frac{e^2}{2^3-2}}={\displaystyle \frac{e^2}{6}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x(x^3-x)-e^x(3x^2-1)}{{(x^3-x)}^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x^3-3x^2-x+1)}{{(x^3-x)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{e^2(8-12-2+1)}{6^2}}={\displaystyle \frac{-5e^2}{36}}$

$y-{\displaystyle \frac{e^2}{6}}=-{\displaystyle \frac{5e^2}{36}}(x-2)$

$y=-{\displaystyle \frac{5e^2}{36}}x+{\displaystyle \frac{10e^2}{36}}+{\displaystyle \frac{6e^2}{36}}=-{\displaystyle \frac{5e^2}{36}}x+{\displaystyle \frac{4e^2}{9}}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=2$ es $y=-\frac{5e^2}{36}x+\frac{4e^2}{9}$.