Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }((1+x-\mathrm{sen}x{)}^{\frac{1}{x^3}})}$

[2 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a $+\mathrm{\infty }$: es la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$, que se resuelve con la fórmula asociada al número $e$.

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{(1+x-\mathrm{sen}x)}^{\frac{1}{x^3}}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^3}}[(1+x-\mathrm{sen}x)-1]}$

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x-\mathrm{sen}x}{x^3}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, y hay que hacerlo tres veces hasta que desaparezca la indeterminación.

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x}{3x^2}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{6x}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}}$

(El penúltimo paso también se resuelve directamente recordando que ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$.)

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{(1+x-\mathrm{sen}x)}^{\frac{1}{x^3}}=e^{1\mathrm{/}6}\approx \mathrm{1,1814}}$

El límite pedido vale $e^{1\mathrm{/}6}\approx \mathrm{1,1814}$.