Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+x}},& \text{si }x\le 10\\ \sqrt{x+1},& \text{si }x>10\end{array}$

a) Determine el dominio de definición de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Determine los intervalos, del dominio de definición, en que $f(x)$ es continua. [1 punto]

c) Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1 punto]

Estudiamos por separado las dos ramas. La primera es una función racional, y solo hay que excluir los ceros de su denominador.

$x^2+x=x(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}$

Los dos valores cumplen $x\le 10$, así que los dos quedan fuera. La segunda rama, $\sqrt{x+1}$, exige $x+1\ge 0$, lo que se cumple en todo el tramo $x>10$.

$\text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus \{-1,0\}$



En cada tramo abierto la función es continua por ser una racional y una raíz, así que los únicos puntos que hay que mirar son los excluidos del dominio y el de empalme $x=10$. Simplificamos antes la primera rama:

${\displaystyle \frac{x+1}{x^2+x}}={\displaystyle \frac{x+1}{x(x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{x}}(x\mathrm{\ne }-1)$

${\lim }_{x\to {10}^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}},{\lim }_{x\to {10}^{+}}f(x)=\sqrt{11}\approx \mathrm{3,3166}$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego en $x=10$ hay una discontinuidad de salto finito y la función solo es continua por la izquierda.

$f\text{ es continua en }(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,0)\cup (0,10)\cup (10,+\mathrm{\infty })$



Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos excluidos del dominio.

${\lim }_{x\to -1}{\displaystyle \frac{x+1}{x(x+1)}}={\lim }_{x\to -1}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-1$

El límite es finito, de modo que en $x=-1$ hay una discontinuidad evitable y no una asíntota.

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales. Se estudian con los límites en el infinito, y cada uno se calcula con la rama que corresponde.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal por la izquierda}$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x+1}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal por la derecha}$

Asíntota oblicua por la derecha:

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{x}}=0\Rightarrow \text{tampoco hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$

La función tiene la asíntota vertical $x=0$ y la asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda.