Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x)=x^2+e^{x\mathrm{/}4}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-2,4]$. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2,4)$ tales que $f(\alpha )=2=f(\beta )$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La función $f(x)=x^2+e^{x\mathrm{/}4}$ es la suma de un polinomio y de una exponencial compuesta con una función lineal. Los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, la exponencial también, y la composición y la suma de funciones continuas son continuas. Por tanto $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[-2,4]$.



El resultado que se aplica es el teorema de Bolzano —o, si se prefiere, el de los valores intermedios—: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ toman valores a uno y otro lado de $k$, existe algún punto interior en el que la función vale $k$.

Calculamos la función en tres puntos del intervalo:

$f(-2)=4+e^{-1\mathrm{/}2}\approx \mathrm{4,607}$

$f(0)=0+e^0=1$

$f(4)=16+e\approx \mathrm{18,718}$

i) En $[-2,0]$ la función es continua y $f(0)=1<2<\mathrm{4,607}=f(-2)$, luego existe $\alpha \in (-2,0)$ con $f(\alpha )=2$.

ii) En $[0,4]$ la función es continua y $f(0)=1<2<\mathrm{18,718}=f(4)$, luego existe $\beta \in (0,4)$ con $f(\beta )=2$.

Los dos puntos son distintos, porque $\alpha$ es negativo y $\beta$ positivo, y los dos están en $(-2,4)$. Existen, pues, los dos valores pedidos.