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Examen de Matemáticas II de Navarra 2024 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria ordinaria de 2024. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

m

y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

{\begin{cases} (2 - a) x - a y + 2 z = - 4 \\ (a - 2) x + (a + 1) y = 5 \\ y + (a^{2} - a) z = 3 - a \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Halle el rango de la matriz

M

según el valor de

m

, siendo:

M = (\begin{array}{ccc} m - 1 & 3 & 0 \\ - 1 & m & 1 \\ m & - 1 & - 1 \\ - 2 & m + 1 & 2 \end{array})

[2,5 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Los puntos

A (4, - 2, - 3)

B (2, - 1, 1)

C (0, - 3, - 1)

son vértices de un rombo.

a) Encuentre el cuarto vértice del rombo. [1,75 puntos]

b) Calcule el área del rombo. [0,75 puntos]

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Ejercicio 4: Geometría

Queremos construir un tetraedro de volumen

3 u^{3}

, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano

π \equiv 2 x - y - 2 z - 2 = 0

con los ejes de coordenadas.

a) ¿A qué distancia de

π

tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? [1,5 puntos]

b) Encuentre dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a)

f (x) = {(\frac{1}{x})}^{\cos x}

[1,25 puntos]

b)

g (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{(x + 2)^{2}}

[1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Halle los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función

f (x) = e^{- x^{2}}

. Represente, de manera aproximada, la gráfica de

f

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Límites y continuidad

Se considera la función

f (x) = x^{2} + e^{x / 4}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[- 2, 4]

. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existen dos valores reales

α

β

(- 2, 4)

tales que

f (α) = 2 = f (β)

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Calcule los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

f (x) = \frac{9}{x}

g (x) = 10 x - x^{3}

Tomando los dos puntos de corte con

x > 0

, calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8