Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$f(x)={\displaystyle \frac{9}{x}}$ y $g(x)=10x-x^3$

Tomando los dos puntos de corte con $x>0$, calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones. Como $f$ no está definida en $x=0$, podemos multiplicar por $x$:

${\displaystyle \frac{9}{x}}=10x-x^3\Rightarrow 9=10x^2-x^4\Rightarrow x^4-10x^2+9=0$

Es una ecuación bicuadrada. Haciendo $u=x^2$,

$u^2-10u+9=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100-36}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 8}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}u=9\\ u=1\end{array}$

$x^2=9\Rightarrow x=\pm 3x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Las ordenadas se obtienen sustituyendo en $f(x)=\frac{9}{x}$:

$(1,9),(3,3),(-1,-9),(-3,-3)$

Los dos cortes de abscisa positiva son $(1,9)$ y $(3,3)$. Para saber qué curva va por encima entre ellos evaluamos en un punto intermedio, $x=2$:

$g(2)=20-8=12f(2)={\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$

luego en todo $(1,3)$ es $g(x)>f(x)$.



El área es la integral de la diferencia:

$A={\displaystyle {\int }_1^3(10x-x^3-{\displaystyle \frac{9}{x}})dx={[5x^2-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-9\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_1^3}$

$A=(45-{\displaystyle \frac{81}{4}}-9\ln 3)-(5-{\displaystyle \frac{1}{4}}-0)=40-20-9\ln 3$

$A=20-9\ln 3\approx 20-\mathrm{9,8875}=\mathrm{10,1125}{\text{u}}^2$

Las gráficas se cortan en $(-3,-3)$, $(-1,-9)$, $(1,9)$ y $(3,3)$, y el recinto que encierran en el semiplano de abscisa positiva tiene un área de $20-9\ln 3\approx \mathrm{10,11}$ unidades cuadradas.