Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x-5}{x^2+x-2}}dx}$ [1,25 puntos]

b) ${\displaystyle \int x\ln xdx}$ [1,25 puntos]

Es una integral racional con el denominador de grado mayor que el numerador, así que descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador:

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\Rightarrow x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

${\displaystyle \frac{2x-5}{(x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}\Rightarrow 2x-5=A(x+2)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow -3=3A\Rightarrow A=-1$

$x=-2\Rightarrow -9=-3B\Rightarrow B=3$

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x-5}{x^2+x-2}}dx=\int {\displaystyle \frac{-1}{x-1}}dx+\int {\displaystyle \frac{3}{x+2}}dx=-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C}$



Se resuelve por partes, tomando como $u$ el logaritmo, que es lo que interesa derivar:

$\{\begin{array}{ll}u=\ln x& du={\displaystyle \frac{dx}{x}}\\ dv=xdx& v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

${\displaystyle \int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int xdx}$

${\displaystyle \int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C}$

Las integrales pedidas son $-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$ y ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C$.