Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones: $f(x)=x^3-3x-2$ y $g(x)=x-2$. [2,5 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas:

$x^3-3x-2=x-2\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x(x^2-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{array}$

Hay tres cortes, de modo que el recinto consta de dos hojas y hay que integrar cada una por separado, porque la diferencia $f(x)-g(x)=x^3-4x$ cambia de signo en $x=0$.

$x=-1:f(-1)-g(-1)=-1+4=3>0\Rightarrow f$ va por encima en $(-2,0)$.

$x=1:f(1)-g(1)=1-4=-3<0\Rightarrow g$ va por encima en $(0,2)$.



Calculamos una primitiva:

${\displaystyle \int (x^3-4x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2}$

Primera hoja:

$A_1={\displaystyle {\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_{-2}^0=0-(4-8)=4}$

Segunda hoja:

${\displaystyle {\int }_0^2(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_0^2=(4-8)-0=-4\Rightarrow A_2=\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4}$

Las dos hojas tienen la misma área, cosa esperable porque $x^3-4x$ es una función impar y el recinto es simétrico respecto del origen.

$A=A_1+A_2=4+4=8{\text{u}}^2$

El área de la región encerrada entre las dos gráficas es de 8 unidades cuadradas.