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Examen de Matemáticas II de Navarra 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que es compatible:

{\begin{cases} a x + (a - 2) y = a - 2 \\ a x + (a^{2} - 2 a) y + 2 z = a \\ 3 a x + (a^{2} - 4) y + z = 4 a - 4 \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

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Ejercicio 2: Matrices

Calcule los valores de

t

para que se cumpla

∣ A \cdot B^{- 1} ∣ = 1

, siendo

A

B

las siguientes matrices:

A = (\begin{array}{ccc} 1 & t & - t \\ 2 t - 1 & t - 1 & t \\ t - 2 & 0 & t - 2 \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} t - 1 & t & - t \\ 1 - 2 t & 2 t & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array})

[2,5 puntos]

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

r \equiv {\begin{cases} 2 y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x - 6}{- 1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 2}{2}

[2,5 puntos]

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Ejercicio 4: Rectas y Planos

Halle un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro

(0, 0, 0)

, y que corte perpendicularmente a la recta

r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 4}{- 2}

Encuentre el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcule la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a

r

. [2,5 puntos]

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Ejercicio 5: Límites y continuidad

Calcule los siguientes límites:

\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3 x^{3} + 2 x^{2}} - \sqrt{3 x^{3}}}

[1,25 puntos]

\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x}

[1,25 puntos]

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Ejercicio 6: Límites y continuidad

Se considera la función

f (x) = \log_{2} [\sin \frac{π (x + 1)}{4} + 2^{\frac{x - 5}{2}}]

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[6, 7]

. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor

α \in (6, 7)

tal que

f (α) = 0

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Se considera la función

f (x) = \sqrt{x + \sin \frac{π x}{2}}

.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo

[1, 3]

. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existen dos valores

α \in (1, 2)

β \in (2, 3)

tales que

f^{'} (α) = f^{'} (β) = 0

. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcule el área de la región sombreada:

Figura del ejercicio

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Examen de Matemáticas II de Navarra 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Límites y continuidad

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Ejercicio 7: Derivadas

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

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