Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\{\begin{array}{l}ax+(a-2)y=a-2\\ ax+(a^2-2a)y+2z=a\\ 3ax+(a^2-4)y+z=4a-4\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& a-2& 0\\ a& a^2-2a& 2\\ 3a& a^2-4& 1\end{array}\right)$

Sacamos $a$ como factor común de la primera columna y restamos después la primera fila a la segunda:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=a\mid \begin{array}{ccc}1& a-2& 0\\ 1& a^2-2a& 2\\ 3& a^2-4& 1\end{array}\mid =a\mid \begin{array}{ccc}1& a-2& 0\\ 0& a^2-3a+2& 2\\ 0& a^2-3a+2& 1\end{array}\mid$

—en la tercera fila se ha restado el triple de la primera: $(a^2-4)-3(a-2)=a^2-3a+2$—. Desarrollando por la primera columna,

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=a\mid \begin{array}{cc}{a}^2-3a+2& 2\\ a^2-3a+2& 1\end{array}\mid =a(a^2-3a+2)(1-2)=-a(a^2-3a+2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-a(a-1)(a-2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,1,2$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x={\displaystyle \frac{a-5}{a-1}},y={\displaystyle \frac{2(a+1)}{(a-1)(a-2)}},z=-a$

Si $a=0$, desaparece la incógnita $x$ y el sistema queda

$\{\begin{array}{l}-2y=-2\\ 2z=0\\ -4y+z=-4\end{array}$

De la primera, $y=1$; de la segunda, $z=0$; y la tercera se cumple, porque $-4+0=-4$. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1\\ z=0\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Si $a=1$, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ x-y+2z=1\\ 3x-3y+z=0\end{array}$

De la primera y la segunda, $2z=2\Rightarrow z=1$; llevándolo a la tercera, $3(x-y)=-1\Rightarrow x-y=-\frac{1}{3}$, en contradicción con la primera, que dice $x-y=-1$. El sistema es incompatible.

Si $a=2$, se anula el coeficiente de $y$ en las tres ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2x+2z=2\\ 6x+z=4\end{array}$

De la primera, $x=0$; de la segunda, $z=1$; y la tercera exige $1=4$. El sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,1,2$, compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=0$, e incompatible para $a=1$ y para $a=2$.