Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a\in \mathbb{R}$: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{y}{2}}+z=0\\ 2ax+y=0\\ 2x+y+az=0\end{array}$

b) Resolverlo para $a=1$. [0,8 puntos]

El sistema es homogéneo, así que siempre es compatible: la terna $(0,0,0)$ lo cumple. Lo único que hay que decidir es si esa solución es la única, y eso depende del rango de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 2a& 1& 0\\ 2& 1& a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& a\end{array}\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \begin{array}{cc}2a& 0\\ 2& a\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}2a& 1\\ 2& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2a^2+(2a-2)=-a^2+3a-2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2-3a+2=0\Rightarrow (a-1)(a-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }2$, se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial $x=y=z=0$.

Si $a=1$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 2& 1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Si $a=2$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 4& 1& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 4& 1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En los dos casos el rango es $2<3$ y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad: infinitas soluciones dependientes de un parámetro.



$\{\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{y}{2}}+z=0\\ 2x+y=0\\ 2x+y+z=0\end{array}$

De la segunda ecuación se despeja $y$ directamente:

$y=-2x$

Restando la segunda ecuación de la tercera queda la tercera incógnita:

$(2x+y+z)-(2x+y)=0\Rightarrow z=0$

La primera ecuación se cumple entonces sin imponer nada más, ya que $x-x+0=0$: es la que sobra, como anunciaba el rango $2$.

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-2\lambda \\ z=0\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Las soluciones para $a=1$ son los infinitos puntos de la recta $(\lambda ,-2\lambda ,0)$.