Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Calcular $\lambda$ y $\mu$ para que el sistema de ecuaciones lineales

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=\mu \\ \lambda x+y=1\\ y+\lambda z=-1\end{array}$

tenga infinitas soluciones. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Calcular}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{y}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, es decir, cuando los dos rangos coinciden y son menores que el número de incógnitas. La primera condición es, por tanto, que el determinante de la matriz de coeficientes se anule.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ \lambda & 1& 0\\ 0& 1& \lambda \end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& \mu \\ \lambda & 1& 0& 1\\ 0& 1& \lambda & -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& \lambda \end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& 1\end{array}\mid =\lambda -2{\lambda }^2+\lambda$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\lambda -2{\lambda }^2=2\lambda (1-\lambda )$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =0\\ \lambda =1\end{array}$

Estudiamos los dos valores por separado, porque anular el determinante no basta: hay que comprobar además que el sistema no resulte incompatible.

Para $\lambda =0$ el sistema es

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=\mu \\ y=1\\ y=-1\end{array}$

Las dos últimas ecuaciones se contradicen entre sí, y eso ocurre sea cual sea $\mu$: el sistema es incompatible y este valor hay que descartarlo.

Para $\lambda =1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& \mu \\ 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Para que el rango de la ampliada sea también $2$ hay que exigir que se anule el menor de orden tres que se obtiene orlando el anterior con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 2& \mu \\ 1& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =-1+0+\mu -0-1+2=\mu$

$\mu =0$

Con esos valores, $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones únicamente para $\lambda =1$ y $\mu =0$.