Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discuta según los valores del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones lineales: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x+y+mz=4\\ 2x-y+2z=3\\ x-2y+z=0\end{array}$

b) Resuélvalo para $m=2$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 2& -1& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& m& 4\\ 2& -1& 2& 3\\ 1& -2& 1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\mid +m\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-1+4)-(2-2)+m(-4+1)=3-3m$

$3-3m=0\Rightarrow m=1$

Si $m\mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Para $m=1$ estudiamos los dos rangos por separado.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& -1& 3\\ 1& -2& 0\end{array}\mid =0+3-16+4+6-0=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\mathrm{\ne }1$ e incompatible si $m=1$. No hay ningún valor que lo haga indeterminado.



Con $m=2$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3-6=-3\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x+y+2z=4\\ 2x-y+2z=3\\ x-2y+z=0\end{array}$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 3& -1& 2\\ 0& -2& 1\end{array}\mid }{-3}}={\displaystyle \frac{-3}{-3}}=1$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 2& 3& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\mid }{-3}}={\displaystyle \frac{-3}{-3}}=1$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& -1& 3\\ 1& -2& 0\end{array}\mid }{-3}}={\displaystyle \frac{-3}{-3}}=1$

Comprobamos en la tercera ecuación: $1-2+1=0$.

La solución, única, es $x=y=z=1$.