Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-\lambda y=1\\ 2x+\lambda z=1\end{array}$

b) Resolverlo para $\lambda =1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{siguiente.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -\lambda & 0\\ 2& 0& \lambda \end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -\lambda & 0& 1\\ 2& 0& \lambda & 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}-\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& \lambda \end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}1& -\lambda \\ 2& 0\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-{\lambda }^2-\lambda +2\lambda =-{\lambda }^2+\lambda =\lambda (1-\lambda )$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =0\\ \lambda =1\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }0$ y $\lambda \mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda =0$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 2& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Las filas segunda y tercera de $A$ son proporcionales —la tercera es el doble de la segunda—, pero los términos independientes no lo son: $2\cdot 1=2\mathrm{\ne }1$. La segunda y la tercera ecuación se contradicen.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\mid =0+2+0-0-0-1=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Para $\lambda =1$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& -1& 0& 1\\ 2& 0& 1& 1\end{array}\right)$

y ahora la tercera fila es la suma de las dos primeras, también en el término independiente, de modo que la tercera ecuación sobra.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.



Prescindimos de la tercera ecuación, que es consecuencia de las otras dos.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-y=1\end{array}$

De la segunda ecuación despejamos $x$ en función de $y$:

$x=1+y$

y sustituyendo en la primera:

$(1+y)+y+z=0\Rightarrow z=-1-2y$

Tomando $y=t$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Se comprueba en la tercera ecuación: $2(1+t)+(-1-2t)=2+2t-1-2t=1$.

Las soluciones para $\lambda =1$ son los infinitos puntos de la recta $(1+t,t,-1-2t)$.