Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2021 (convocatoria extraordinaria)

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-\lambda y=1\\ 2x+\lambda z=1\end{array}$

b) Resolverlo para $\lambda =1$. [0,8 puntos]

Dadas las matrices $M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ y $N=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$, hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1}PM=N$. [2 puntos]

Dadas las rectas $r\equiv x=y+1={\displaystyle \frac{z-2}{2}}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ 2x-z+3=0\end{array}$, se pide:

a) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$. [1 punto]

b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$. [1 punto]

Dada la recta $r\equiv x-1={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$:

a) Calcular el plano ${\pi }_1$ que pasa por $A=(1,2,3)$ y es perpendicular a la recta $r$. [0,5 puntos]

b) Calcular el plano ${\pi }_2$ que pasa por $B=(-1,1,-1)$ y contiene a la recta $r$. [1,5 puntos]

Dada la función $f(x)=x^5-5x-1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. [2 puntos]

Calcular el valor de $m>0$ para el cual se verifica que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos (mx)}{x^2}}=2}$. [2 puntos]

a) Estudiar la continuidad de la función definida por: [1 punto]

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x}},& \text{si }x\mathrm{\ne }0,\\ 0,& \text{si }x=0.\end{array}$

b) Calcular ${\displaystyle \int x\ln (x^2)dx}$. [1 punto]

Se considera la función $f(x)=x-\cos (x)$.

a) Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0,\pi \mathrm{/}2]$. [1 punto]

b) Probar que la ecuación $f(x)=0$ solo puede tener una solución en el intervalo $[0,\pi \mathrm{/}2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única. [1 punto]

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente:

El 48 % son blancas y entre ellas dos tercios son de madera.

El 24 % son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera.

El 28 % son verdes, de las cuales la mitad son de madera.

Considerando los sucesos $B=$ «ser blanca», $R=$ «ser roja», $V=$ «ser verde» y $M=$ «ser de madera»:

a) Indicar cuáles son los valores de $P(M\mathrm{/}B)$, $P(M\mathrm{/}R)$ y $P(M\mathrm{/}V)$. [0,3 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. [0,7 puntos]

c) Si solo se sabe que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? [1 punto]

Se sabe que el coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20.

a) ¿Qué porcentaje de españoles adultos se espera que tengan un coeficiente intelectual entre 95 y 105? [1 punto]

b) Si se considera que una persona es superdotada cuando su coeficiente intelectual es mayor que 160, calcular el porcentaje de españoles adultos que son superdotados. [1 punto]