Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función $f(x)=x-\cos (x)$.

a) Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0,\pi \mathrm{/}2]$. [1 punto]

b) Probar que la ecuación $f(x)=0$ solo puede tener una solución en el intervalo $[0,\pi \mathrm{/}2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única. [1 punto]

La existencia de la solución la da el teorema de Bolzano, cuyas dos hipótesis comprobamos.

La función $f(x)=x-\cos (x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$, por ser diferencia de un polinomio y una función trigonométrica, y en particular lo es en $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

$f(0)=0-\cos 0=-1<0$

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,571}>0$

$f(0)\cdot f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)<0$

Se cumplen las dos condiciones, así que existe al menos un $c\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ con $f(c)=0$.



La unicidad se obtiene de la monotonía: una función estrictamente creciente no puede tomar el mismo valor dos veces.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+\mathrm{sen}(x)$

En el intervalo $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ el seno toma valores entre $0$ y $1$, de modo que

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+\mathrm{sen}(x)\ge 1>0$

La derivada es estrictamente positiva en todo el intervalo, luego $f$ es estrictamente creciente ahí y, por tanto, inyectiva: no puede anularse en dos puntos distintos.

Uniendo los dos apartados, la ecuación $x-\cos (x)=0$ tiene exactamente una solución en $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.