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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 7 ejercicios publicados, 7 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

a) Dado

k \in R

, se considera el sistema de ecuaciones

{\begin{cases} k x - y - z = 1 \\ x + k y + 2 k z = k \end{cases}

Discutir el sistema según los valores del parámetro

k \in R

y resolverlo para

k = - 1

. [1,5 puntos]

b) Sea

A

una matriz cuadrada que verifica

A^{2} = I + 3 A

, donde

I

denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de

A

no es cero y expresar

A^{- 1}

en función de

A

y de

I

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Sea la función

f (x) = 12 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}

.

a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de

f (x)

y su recta tangente en el punto

x = 1

. [1,5 puntos]

b) Calcular

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x f (x)}

, donde

\ln

denota el logaritmo neperiano. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Se considera la función

f (x) = x^{2} e^{- x}

.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función

f

y el eje de abscisas en el intervalo

[0, 2]

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Sean el plano

π \equiv 5 x + m y + z = 2

y la recta

r \equiv (x, y, z) = (1, 1, 0) + t (- 1, - 1, 2)

, con

t \in R

.

a) Determinar la posición relativa de

r

π

en función de

m

. [1,5 puntos]

b) Para

m = 1

, calcular el plano

π^{'}

que contiene a

r

y es perpendicular a

π

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Sean el plano

π \equiv x + y - z = 2

y la recta

r \equiv \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

.

a) Calcular la ecuación de un plano

π^{'}

paralelo al plano

π

y que esté a una distancia de

2 \sqrt{3}

unidades de la recta

r

. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta. [1,5 puntos]

b) Calcular la ecuación de un plano

π^{''}

perpendicular al plano

π

y que pasa por los puntos

P (1, 0, 1)

Q (0, 1, 0)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Distribución normal

El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 28 cm y desviación típica de 6 cm.

a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm. [1,5 puntos]

b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un 55 % de mujeres y el resto hombres. Se sabe que el 15 % del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde.

a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? [1 punto]

b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. [0,75 puntos]

c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Ejercicio 3: Funciones

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Ejercicio 6: Distribución normal

Ejercicio 7: Probabilidad

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