Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Sea la función $f(x)=12x+3x^2-2x^3$.

a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y su recta tangente en el punto $x=1$. [1,5 puntos]

b) Calcular ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{xf(x)}}}$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. [1 punto]

Empezamos por la recta tangente, que necesita el valor de la función y el de su derivada en el punto.

$f(1)=12+3-2=13$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12+6x-6x^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=12+6-6=12$

$y-13=12(x-1)\Rightarrow y=12x+1$

Los límites de integración son las abscisas en que la curva y la recta se cortan. Restamos las dos expresiones e igualamos a cero:

$f(x)-(12x+1)=-2x^3+3x^2-1$

Como la recta es tangente en $x=1$, esa abscisa es raíz doble; dividiendo por $(x-1)$ se factoriza el resto:

$-2x^3+3x^2-1=(x-1)(-2x^2+x+1)=-2(x-1{)}^2(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$\{\begin{array}{l}x=1(\text{doble})\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

El recinto queda, por tanto, entre $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $x=1$. En su interior el factor $(x-1{)}^2$ es positivo y $x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ también, así que $f(x)-(12x+1)<0$: la recta va por encima de la curva.



$\mathcal{A}={\int }_{-1\mathrm{/}2}^1[(12x+1)-f(x)]dx={\int }_{-1\mathrm{/}2}^1(2x^3-3x^2+1)dx$

$={[{\displaystyle \frac{x^4}{2}}-x^3+x]}_{-1\mathrm{/}2}^1$

$=({\displaystyle \frac{1}{2}}-1+1)-({\displaystyle \frac{1}{32}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{11}{32}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{27}{32}}=\mathrm{0,84375}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{27}{32}}\approx \mathrm{0,844}$ unidades de área.



Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque tanto el numerador como el denominador se anulan en $x=0$.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{x(12x+3x^2-2x^3)}}={\displaystyle \frac{\ln 1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Desarrollamos el denominador y aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:



Sigue siendo del tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, pero ahora basta sacar factor común $x$ y simplificarlo:

$={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2x}{(1+x^2)x(24+9x-8x^2)}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2}{(1+x^2)(24+9x-8x^2)}}$

$={\displaystyle \frac{2}{1\cdot 24}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

El valor del límite es ${\displaystyle \frac{1}{12}}$.