Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

a) Estudie el signo de la función $f(x)=x^3-4x^2+3x$ en el intervalo $[0,2]$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área limitada por la gráfica de la función $f(x)=x^3-4x^2+3x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1,5 puntos]

Factorizamos la función para localizar sus ceros, que son los únicos puntos donde puede cambiar de signo.

$f(x)=x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3)$

$f(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=3\end{array}$

Dentro de $[0,2]$ solo hay un cero interior, $x=1$, que parte el intervalo en dos tramos. Evaluamos el signo en un punto de cada uno:

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{2}})={\displaystyle \frac{5}{8}}>0$

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{2}})=-{\displaystyle \frac{9}{8}}<0$

La función es positiva en $(0,1)$ y negativa en $(1,2)$.



Como la función cambia de signo en $x=1$, hay que partir la integral en ese punto y sumar los valores absolutos de los dos trozos; si se integrara de una vez, las dos partes se restarían.



Calculamos una primitiva común a los dos tramos:

$F(x)=\int (x^3-4x^2+3x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}$

$F(0)=0F(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3-16+18}{12}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$

$F(2)=4-{\displaystyle \frac{32}{3}}+6={\displaystyle \frac{30-32}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

${\int }_0^{1}f(x)dx={\displaystyle \frac{5}{12}}{\int }_1^{2}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}=-{\displaystyle \frac{13}{12}}$

$\mathcal{A}=\mid {\displaystyle \frac{5}{12}}\mid +\mid -{\displaystyle \frac{13}{12}}\mid ={\displaystyle \frac{18}{12}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

El área pedida es de ${\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}$ unidades de área.