Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Hallar los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales el polinomio $P(x)=a{x}^2+bx+c$ cumple las siguientes condiciones: [2 puntos]

$P(0)=1$.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en $x=0$ es $m=1$.

${\displaystyle {\int }_0^{2}P(x)dx=12}$.

Cada condición da una ecuación, y conviene tomarlas en el orden en que van despejando incógnitas.

La primera dice que la gráfica pasa por el punto $(0,1)$, y al sustituir $x=0$ desaparecen los dos primeros términos:

$P(0)=c=1$

La segunda habla de la pendiente de la tangente, que es el valor de la derivada:

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(0)=b=1$

La tercera es una integral definida, que calculamos con los valores ya obtenidos:

${\int }_0^{2}P(x)dx={[{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}+{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}+cx]}_0^2={\displaystyle \frac{8a}{3}}+2b+2c$

${\displaystyle \frac{8a}{3}}+2\cdot 1+2\cdot 1=12\Rightarrow {\displaystyle \frac{8a}{3}}=8\Rightarrow a=3$

Los valores pedidos son $a=3$, $b=1$ y $c=1$, es decir, $P(x)=3x^2+x+1$, y se comprueba que su integral entre $0$ y $2$ vale $8+2+2=12$.