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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

a) Discutir según los valores del parámetro

λ

el sistema de ecuaciones lineales siguiente: [1,2 puntos]

{\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2 x + y - z = 0 \\ x + y + λ z = 0 \end{cases}

b) Resolverlo para

λ = - 1

. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{cc} n - 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array})

.

a) Determinar los valores de

n

para los que la matriz

A^{2}

tiene inversa. [1 punto]

b) Para

n = 2

, hallar la matriz

X

que verifica la ecuación

A X + A = 2 I

, siendo

I

la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) Hallar la recta perpendicular al plano

π \equiv x + y + z = 1

que pasa por el punto

A = (0, 0, 0)

. [0,8 puntos]

b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos

P = (1, 1, 1)

Q = (1, 3, - 1)

son simétricos. [1,2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Dados la recta

r \equiv \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 2}

y el punto

P = (0, 0, 0)

, hallar la ecuación del plano

π

que contiene a

r

y pasa por el punto

P

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Funciones

Representar la función

f (x) = e^{(x^{2})}

, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Calcular

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - \cos (3 x)}{{sen}^{2} (x)}

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

a) Dadas las funciones

f (x) = x^{2}

g (x) = - x^{2} + 8

, hallar los valores de

x \in R

para los que

g (x) \geq f (x)

. [0,5 puntos]

b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

f (x)

g (x)

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Hallar los valores de

a

b

c

para los cuales el polinomio

P (x) = a x^{2} + b x + c

cumple las siguientes condiciones: [2 puntos]

P (0) = 1

.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de

P (x)

x = 0

m = 1

\int_{0}^{2} P (x) d x = 12

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

En un club deportivo, el 55 % de los socios son hombres y el 45 % mujeres. Entre los socios, el 60 % de los hombres practica la natación, así como el 40 % de las mujeres.

a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media 20 y de desviación típica 4.

a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? [1 punto]

b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del

96,41

% de los test? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10