Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}n-1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$.

a) Determinar los valores de $n$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $n=2$, hallar la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX+A=2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

Una matriz cuadrada tiene inversa cuando su determinante no se anula. No hace falta calcular $A^2$: basta usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$\mid A^2\mid =\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}n-1& 0\\ 1& -1\end{array}\mid =-(n-1)=1-n$

$\mid A^2\mid =(1-n{)}^2$

$(1-n{)}^2\mathrm{\ne }0\iff n\mathrm{\ne }1$

La matriz $A^2$ tiene inversa para todo $n\mathrm{\ne }1$; equivale a decir que la tiene siempre que la tenga $A$.



Con $n=2$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\mathrm{\ne }0$

Despejamos $X$ pasando $A$ al otro miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:

$AX=2I-A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)=-\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$

Obsérvese que $A^{-1}=A$: la matriz es su propia inversa.

$X=A^{-1}(2I-A)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -3\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AX+A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -3\end{array}\right)$.