Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Representar la función $f(x)=e^{(x^2)}$, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

La función es una exponencial cuyo exponente es un polinomio, de modo que está definida en todo $\mathbb{R}$ y, además, es siempre positiva.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}f(x)=e^{x^2}>0$

Monotonía. Derivamos con la regla de la cadena:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{x^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

Como la exponencial es siempre positiva, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el de $x$: la función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y crece en $(0,+\mathrm{\infty })$, con un mínimo relativo:

$f(0)=e^0=1\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(0,1)$

Curvatura. Volvemos a derivar, ahora con la regla del producto:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2e^{x^2}+2x\cdot 2x{e}^{x^2}=2e^{x^2}(1+2x^2)$

Los dos factores son estrictamente positivos, luego $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ en todo $\mathbb{R}$: la función es convexa en toda la recta real y no tiene puntos de inflexión.

Asíntotas. No hay verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua. En el infinito el exponente tiende a $+\mathrm{\infty }$ en las dos ramas:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{e}^{x^2}=+\mathrm{\infty }$

de modo que no hay asíntotas horizontales; y tampoco oblicuas, porque

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x}}=+\mathrm{\infty }$

no es un número finito.

Con todo lo anterior, y teniendo en cuenta que la función es par —$f(-x)=f(x)$—, la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas y tiene esta forma: