Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x)=x{e}^{-2x^2}$:

a) Determine su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas. [0,75 puntos]

b) Halle los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión. [0,75 puntos]

c) Con la información obtenida en los apartados anteriores, represente la curva. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, las dos definidas en todos los reales.

$\text{Dom }f=\mathbb{R}$

Al no haber puntos excluidos no hay asíntotas verticales. Para las horizontales se calcula el límite en el infinito, que es una indeterminación del tipo $\mathrm{\infty }\cdot 0$ y se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}x{e}^{-2x^2}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{e^{2x^2}}}=0$

porque la exponencial es un infinito de orden superior al de cualquier potencia. Como la función es impar —$f(-x)=-f(x)$—, el límite en $-\mathrm{\infty }$ también es 0.

La recta $y=0$ es asíntota horizontal en las dos ramas, y al haberla no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva aplicando la regla del producto y se saca factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-2x^2}+x\cdot (-4x)e^{-2x^2}=e^{-2x^2}(1-4x^2)$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada es el de $1-4x^2$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-4x^2=0\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-3e^{-2}<0;f^{\mathrm{\prime }}(0)=1>0;f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3e^{-2}<0$



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, crece en $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ y vuelve a decrecer en $(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$. Hay, por tanto, un mínimo relativo en $x=-\frac{1}{2}$ y un máximo relativo en $x=\frac{1}{2}$.

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{e}}}\approx \mathrm{0,3033}$

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{e}}}\approx -\mathrm{0,3033}$

Para los puntos de inflexión se deriva otra vez:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4x{e}^{-2x^2}(1-4x^2)+e^{-2x^2}(-8x)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{-2x^2}(-4x+16x^3-8x)=4x{e}^{-2x^2}(4x^2-3)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x(4x^2-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$

En los tres la segunda derivada cambia de signo, porque las tres raíces son simples, de modo que los tres son puntos de inflexión:

$(0,0);({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{e}^{-3\mathrm{/}2})\approx (\mathrm{0,87};\mathrm{0,19});(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{e}^{-3\mathrm{/}2})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es impar, así que su gráfica es simétrica respecto del origen; corta a los ejes solo en $(0,0)$ y se pega al eje de abscisas en las dos ramas.