Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Sea $f(x)={\displaystyle \frac{x}{(x-2)(x-1)}}$. [2 puntos]

i) Halle el dominio y las asíntotas verticales y horizontales de la función $f$, en caso de que existan.

ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.

Se trata de una función racional, definida en todo punto en el que el denominador no se anule.

$(x-2)(x-1)=0\Rightarrow x=2\text{ o }x=1$

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{1,2\}$

Las candidatas a asíntota vertical son precisamente esas dos abscisas, porque en ellas el denominador se anula sin que lo haga el numerador.

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x}{(x-2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{1}{(-1)\cdot 0}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x}{(x-2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{2}{0\cdot 1}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador, 1, con el del denominador, 2:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2-3x+2}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Como hay asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hubiera.}}$

Se deriva aplicando la regla del cociente, escribiendo antes el denominador desarrollado:

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-3x+2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x^2-3x+2)-x(2x-3)}{{(x^2-3x+2)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+2-2x^2+3x}{{(x^2-3x+2)}^2}}={\displaystyle \frac{2-x^2}{{(x^2-3x+2)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, de modo que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el del numerador.

$2-x^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Los dos valores están en el dominio, y hay que añadir a la recta de signos los dos puntos excluidos, $x=1$ y $x=2$, porque en ellos la función se rompe. Obsérvese que $1<\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}<2$.



Con el numerador $2-x^2$, que es positivo entre las dos raíces y negativo fuera, resulta:

$f$ es decreciente en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{2})$, creciente en $(-\sqrt{2},1)$ y en $(1,\sqrt{2})$, y decreciente en $(\sqrt{2},2)$ y en $(2,+\mathrm{\infty })$.

En $x=-\sqrt{2}$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo; en $x=\sqrt{2}$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo. Se calculan las ordenadas:

$f(-\sqrt{2})={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{(-\sqrt{2}-2)(-\sqrt{2}-1)}}={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-3\approx -\mathrm{0,1716}$

$f\left(\sqrt{2}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-1)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}}=-3-2\sqrt{2}\approx -\mathrm{5,8284}$

Hay un mínimo relativo en $(-\sqrt{2},2\sqrt{2}-3)$ y un máximo relativo en $(\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})$. No hay contradicción en que el valor del mínimo sea mayor que el del máximo: cada uno está en una rama distinta de la gráfica, separadas por las asíntotas verticales.