Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Determine el dominio y las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{(x+2{)}^2}}$. Calcule la recta tangente en su punto de inflexión. [2 puntos]

Es una función racional, definida donde el denominador no se anule:

$(x+2{)}^2=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales.}}$

La única candidata es $x=-2$, donde el numerador vale $1\mathrm{\ne }0$. Como el denominador es un cuadrado, tiende a cero por valores positivos por los dos lados:

${\lim }_{x\to -2}{\displaystyle \frac{x+3}{(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

$x=-2$ es asíntota vertical, y la función se va a $+\mathrm{\infty }$ por la derecha y por la izquierda.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas.}}$

El grado del numerador, 1, es menor que el del denominador, 2:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x+3}{x^2+4x+4}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{Punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente.}}$

Se deriva escribiendo la función como producto de potencias, que evita la regla del cociente:

$f(x)=(x+3)(x+2{)}^{-2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+2{)}^{-2}-2(x+3)(x+2{)}^{-3}=(x+2{)}^{-3}[(x+2)-2(x+3)]={\displaystyle \frac{-x-4}{(x+2{)}^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-(x+2{)}^{-3}+3(x+4)(x+2{)}^{-4}=(x+2{)}^{-4}[-(x+2)+3(x+4)]={\displaystyle \frac{2x+10}{(x+2{)}^4}}$

El denominador es una potencia par, siempre positiva, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ es el del numerador:

$2x+10=0\Rightarrow x=-5$

A la izquierda de $-5$ la segunda derivada es negativa y a la derecha positiva, luego hay cambio de curvatura y $x=-5$ es abscisa de un punto de inflexión.

$f(-5)={\displaystyle \frac{-5+3}{(-5+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2}{9}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-5)={\displaystyle \frac{5-4}{(-3{)}^3}}={\displaystyle \frac{1}{-27}}=-{\displaystyle \frac{1}{27}}$



Con el punto $(-5,-{\displaystyle \frac{2}{9}})$ y la pendiente $-{\displaystyle \frac{1}{27}}$:

$y+{\displaystyle \frac{2}{9}}=-{\displaystyle \frac{1}{27}}(x+5)$

$y=-{\displaystyle \frac{x}{27}}-{\displaystyle \frac{5}{27}}-{\displaystyle \frac{6}{27}}=-{\displaystyle \frac{x+11}{27}}$

La recta tangente en el punto de inflexión es $y=-{\displaystyle \frac{x+11}{27}}$.