Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1}}$.

a) Determine los cortes de la curva $y=f(x)$ con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. [1 punto]
b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y=f(x)$ en los puntos $x=0$ y $x=2$. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta. [1 punto]
c) ¿Hay algún punto donde la recta tangente a $f(x)$ tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo. [0,5 puntos]

El dominio de la función es $\mathbb{R}-\{1\}$, porque el denominador solo se anula en $x=1$. Una fracción vale cero cuando lo hace su numerador, así que los cortes con el eje $OX$ salen de ahí.

$x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0\text{ o }x=2$

Los dos valores pertenecen al dominio. Además $f(0)=0$, de modo que el corte con el eje $OY$ es el mismo punto.

$(0,0)(2,0)$

En $x=1$ se anula el denominador pero no el numerador, luego hay una asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1}}={\displaystyle \frac{-1}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1}}={\displaystyle \frac{-1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

No hay asíntotas horizontales, porque el grado del numerador supera en una unidad al del denominador y entonces la función no tiende a ningún número finito. Ese mismo hecho anuncia una asíntota oblicua, que se obtiene efectuando la división:

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x}{x-1}}=x-1-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)-(x-1))={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-1}{x-1}}=0$

La curva corta a los ejes en $(0,0)$ y $(2,0)$, tiene la asíntota vertical $x=1$, no tiene asíntotas horizontales y tiene la asíntota oblicua $y=x-1$ por los dos lados.



La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto. Derivamos sobre la expresión ya dividida del apartado anterior, que es más cómoda.

$f(x)=x-1-(x-1{)}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1+{\displaystyle \frac{1}{(0-1{)}^2}}=2f(0)=0$

$y-0=2(x-0)\Rightarrow y=2x$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=1+{\displaystyle \frac{1}{(2-1{)}^2}}=2f(2)=0$

$y-0=2(x-2)\Rightarrow y=2x-4$

Las dos rectas tienen la misma pendiente, $2$, y distinta ordenada en el origen, de modo que son paralelas y no coincidentes.



Las rectas tangentes son $y=2x$ en $x=0$ y $y=2x-4$ en $x=2$, y sí son paralelas, porque ambas tienen pendiente $2$.



Basta imponer que la derivada valga $1$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\Rightarrow 1+{\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}=0$

Una fracción de numerador $1$ no se anula nunca, así que la ecuación no tiene solución. De hecho $(x-1{)}^2>0$ en todo el dominio y por tanto $f^{\mathrm{\prime }}(x)>1$ siempre: la pendiente de la tangente es mayor que $1$ en cualquier punto de la curva, y por eso la gráfica se acerca a la asíntota oblicua $y=x-1$ sin llegar nunca a tener su pendiente.

No hay ningún punto en el que la recta tangente tenga pendiente $1$.