Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Sea la función $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=a+{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^2}}$.

a) Calcule $a$ para que $y=1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$. [1 punto]

b) Para $a=0$, calcule los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudie y halle los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]

La recta $y=k$ es asíntota horizontal cuando el límite de la función en el infinito vale $k$. Calculamos ese límite.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(a+{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}})=a+{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$

El límite que queda es una indeterminación ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$; aplicamos la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{2x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}=0$

Por tanto ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a}$, e imponiendo que la asíntota sea $y=1$:

$a=1$

La gráfica de $f$ tiene por asíntota horizontal la recta $y=1$ cuando $a=1$.



Para $a=0$ la función es $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$, definida en $(0,+\mathrm{\infty })$. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{x-2x\ln x}{x^4}}={\displaystyle \frac{x(1-2\ln x)}{x^4}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$

Buscamos los puntos críticos. Como $x>0$, el denominador es positivo y el signo lo fija el numerador.

$1-2\ln x=0\Rightarrow \ln x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x={\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{\mathrm{e}}$

Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro tomando un punto de prueba:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1-0}{1}}=1>0,f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{e})={\displaystyle \frac{1-2}{{\mathrm{e}}^3}}<0$



La función crece en $(0,\sqrt{\mathrm{e}})$ y decrece en $(\sqrt{\mathrm{e}},+\mathrm{\infty })$. Como pasa de crecer a decrecer, en $x=\sqrt{\mathrm{e}}$ hay un máximo relativo, y no hay ningún mínimo.

$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{\ln \sqrt{\mathrm{e}}}{{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\mathrm{e}}}={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}}$

La función crece en $(0,\sqrt{\mathrm{e}})$ y decrece en $(\sqrt{\mathrm{e}},+\mathrm{\infty })$, y presenta un máximo relativo en el punto $(\sqrt{\mathrm{e}},{\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{e}}})\approx (\mathrm{1,65};\mathrm{0,18})$.