Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Dadas las siguientes funciones:



a) Dado $p(x)=x^2+x^3$, identifique razonadamente, sin evaluar $p$, qué función lo representa. [1 punto]

b) Indique razonadamente cuál es el valor del límite ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{h(x)}{f(x)}}$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dado}}\mathbf{\text{p(x)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{x²}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{\text{x³,}}\mathbf{\text{identifique}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{evaluar}}\mathbf{\text{p,}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{representa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Se trata de leer en la gráfica las propiedades que se deducen de la expresión, sin sustituir valores. Conviene factorizar:

$p(x)=x^2+x^3=x^2(1+x)$

y derivar:

$p^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+3x^2=x(2+3x)$





De ahí salen tres rasgos que deciden por sí solos:

El primero: $p(0)=0$ y $p^{\mathrm{\prime }}(0)=0$, así que la curva pasa por el origen con tangente horizontal. Eso descarta la curva verde $f$, que cruza el origen con pendiente claramente no nula.

El segundo: en el intervalo dibujado, $x\in (-\mathrm{0,6};\mathrm{0,6})$, el factor $1+x$ es positivo y $x^2$ también, de modo que $p(x)\ge 0$ siempre. La curva no puede bajar del eje $X$, y eso descarta la roja $h$, que es negativa a la derecha del origen.

El tercero, que confirma la elección: $p$ no es par ni impar. Crece más deprisa a la derecha que a la izquierda, porque el término cúbico suma para $x>0$ y resta para $x<0$; la gráfica azul, en efecto, sube mucho más en $x=\mathrm{0,6}$ de lo que sube en $x=-\mathrm{0,6}$.

Por tanto, $p$ es la función $g$, la curva azul.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{h(x)/f(x)}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{tiende}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las tres curvas pasan por el origen, así que el límite presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$: hay que comparar a qué velocidad se acerca cada una a cero, y eso lo dicen sus tangentes.

En la gráfica se lee que:

$h(0)=0$ y la curva roja llega al origen con tangente horizontal, luego $h^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

$f(0)=0$ pero la curva verde llega al origen con una tangente claramente inclinada, de pendiente positiva, luego $f^{\mathrm{\prime }}(0)\mathrm{\ne }0$.

Aplicando la regla de L'Hôpital, válida porque numerador y denominador tienden los dos a cero y son derivables:

${\lim }_{x\to 0}\frac{h(x)}{f(x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{h^{\mathrm{\prime }}(x)}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}=\frac{h^{\mathrm{\prime }}(0)}{f^{\mathrm{\prime }}(0)}=\frac{0}{f^{\mathrm{\prime }}(0)}=0$

El límite vale $0$. La lectura intuitiva es que $h$ es un infinitésimo de orden superior al de $f$ en $x=0$: se aplasta contra el eje mucho más deprisa de lo que lo hace $f$, y por eso el cociente se va a cero. Si se hubiera preguntado por el cociente inverso, $f\mathrm{/}h$, el límite sería infinito.