Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Sea $f(x)={\displaystyle \frac{1+4x^4-x^2}{x}}$. [2 puntos]

i) Halle el dominio y las asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función $f$, en caso de que existan.

ii) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos si los hubiera.

Conviene empezar dividiendo, porque la expresión se simplifica mucho y todo lo demás sale de ahí:

$f(x)={\displaystyle \frac{1+4x^4-x^2}{x}}=4x^3-x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{(horizontales,}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}$

Es una función racional cuyo denominador solo se anula en el origen:

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

La única candidata a asíntota vertical es $x=0$, y allí el numerador vale 1, distinto de cero:

${\lim }_{x\to 0^{+}}(4x^3-x+{\displaystyle \frac{1}{x}})=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 0^{-}}(4x^3-x+{\displaystyle \frac{1}{x}})=-\mathrm{\infty }$

$x=0$ es asíntota vertical.

Para las horizontales, el grado del numerador, 4, supera al del denominador, 1:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=-\mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal. Para las oblicuas, $y=mx+n$, se calcula la pendiente:

$m={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x^4-x^2+1}{x^2}}=\mathrm{\infty }$

Como la pendiente no es finita, tampoco hay asíntota oblicua. Era de esperar: la diferencia de grados es 3, y solo hay asíntota oblicua cuando esa diferencia vale exactamente 1.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hubiera.}}$

Se deriva la expresión ya simplificada:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{12x^4-x^2-1}{x^2}}$

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el del numerador. Este es una ecuación bicuadrada; con el cambio $u=x^2$:

$12u^2-u-1=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+48}}{24}}={\displaystyle \frac{1\pm 7}{24}}\Rightarrow u={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ o }u=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

La segunda raíz se descarta, porque $u=x^2$ no puede ser negativo. De la primera:

$x^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Factorizando, $12x^4-x^2-1=(3x^2-1)(4x^2+1)$, y como el segundo factor es siempre positivo, el signo de la derivada es el de $3x^2-1$: negativo entre las dos raíces y positivo fuera.



$f$ es creciente en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$ y en $({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},+\mathrm{\infty })$, y decreciente en $(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},0)$ y en $(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$.

En $x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. En $x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. Se calculan las ordenadas:

$f\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)=4\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}+\sqrt{3}={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}}{9}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{9}}\approx \mathrm{1,9245}$

La función es impar, porque $f(-x)=-4x^3+x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=-f(x)$, de modo que el otro valor es el opuesto:

$f(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})=-{\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{9}}\approx -\mathrm{1,9245}$

Hay un máximo relativo en $(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},-{\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{9}})$ y un mínimo relativo en $({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{9}})$. Como antes, no hay contradicción en que el máximo esté por debajo del mínimo: la asíntota vertical separa las dos ramas.