Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2-e^{-x}}}$. Determine el dominio, los extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Dominio.}}$

La función está definida donde el denominador no se anule:

$2-e^{-x}=0\Rightarrow e^{-x}=2\Rightarrow -x=\ln 2\Rightarrow x=-\ln 2$

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-\ln 2\},-\ln 2\approx -\mathrm{0,6931}$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales.}}$

La única candidata es $x=-\ln 2$, donde el numerador vale $(\ln 2{)}^2\mathrm{\ne }0$. El signo del denominador cambia al cruzar ese punto: si $x<-\ln 2$ entonces $e^{-x}>2$ y el denominador es negativo, y si $x>-\ln 2$ es positivo.

${\lim }_{x\to (-\ln 2{)}^{-}}{\displaystyle \frac{x^2}{2-e^{-x}}}={\displaystyle \frac{(\ln 2{)}^2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to (-\ln 2{)}^{+}}{\displaystyle \frac{x^2}{2-e^{-x}}}={\displaystyle \frac{(\ln 2{)}^2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

$x=-\ln 2$ es asíntota vertical.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales.}}$

Hay que estudiar las dos ramas por separado, porque la exponencial se comporta de forma muy distinta en cada una.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{2-e^{-x}}}={\displaystyle \frac{+\mathrm{\infty }}{2-0}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{2-e^{-x}}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{-e^{-x}}}=-{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^x=0$

porque la exponencial $e^x$ tiende a cero más deprisa de lo que crece cualquier potencia. Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal, pero solo en la rama de la izquierda.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{oblicuas.}}$

Por la izquierda no puede haberlas, porque ya hay horizontal. Por la derecha se calcula la pendiente:

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{2-e^{-x}}}=+\mathrm{\infty }$

No es finita, luego no hay asíntota oblicua: la rama derecha es una rama parabólica, pues la función se comporta como ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

$\mathbf{\text{Extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}$

Se deriva por la regla del cociente, teniendo en cuenta que la derivada de $2-e^{-x}$ es $e^{-x}$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(2-e^{-x})-x^2{e}^{-x}}{{(2-e^{-x})}^2}}={\displaystyle \frac{x[4-2e^{-x}-x{e}^{-x}]}{{(2-e^{-x})}^2}}={\displaystyle \frac{x[4-(x+2)e^{-x}]}{{(2-e^{-x})}^2}}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo lo deciden los dos factores del numerador. El primero se anula en $x=0$. Para el segundo hay que resolver

$(x+2)e^{-x}=4$

Se estudia la función $g(x)=(x+2)e^{-x}$: su derivada es $g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$, que se anula en $x=-1$ y cambia de positiva a negativa, de modo que ahí hay un máximo absoluto:

$g(-1)=1\cdot e^1=e\approx \mathrm{2,718}<4$

Como $g(x)\le e<4$ para todo $x$, el corchete $4-(x+2)e^{-x}$ es siempre positivo y el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es simplemente el de $x$.



$f$ es decreciente en $(-\mathrm{\infty },-\ln 2)$ y en $(-\ln 2,0)$, y creciente en $(0,+\mathrm{\infty })$.

En $x=0$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo:

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{2-1}}=0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(0,0)$

No hay ningún máximo relativo. El único extremo es ese mínimo, que además es el valor más pequeño que toma la función en toda la rama $x>-\ln 2$, donde es siempre positiva o nula.