Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Representar gráficamente la función $f(x)=x{e}^x$, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas. [2 puntos]

La función es producto de un polinomio y una exponencial, definidos ambos en todo $\mathbb{R}$, de modo que su dominio es toda la recta real y corta a los ejes solo en el origen.

Monotonía y extremos. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común la exponencial, que nunca se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+x{e}^x=e^x(1+x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1+x=0\Rightarrow x=-1$

El signo de la derivada es el de $1+x$: negativo antes de $-1$ y positivo después, así que la función decrece en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y crece en $(-1,+\mathrm{\infty })$, con un mínimo relativo:

$f(-1)=-e^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{e}}\approx -\mathrm{0,368}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(-1,-{\displaystyle \frac{1}{e}})$

Curvatura. Volvemos a derivar:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-2$

La segunda derivada es negativa antes de $-2$ y positiva después: la función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },-2)$ y convexa en $(-2,+\mathrm{\infty })$, con un punto de inflexión en

$f(-2)=-{\displaystyle \frac{2}{e^2}}\approx -\mathrm{0,271}\Rightarrow (-2,-{\displaystyle \frac{2}{e^2}})$

Asíntotas. No hay verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua.



${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}x{e}^x=+\mathrm{\infty }$

Hay una asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda y ninguna por la derecha, y tampoco oblicua, porque ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^x=+\mathrm{\infty }$ no es finito.

Con todo lo anterior, la gráfica es